У світі є багато речей, але немає нічого важкого, як чотири дії арифметики!

В Індії математика зародилася приблизно тоді ж, коли і в Єгипті, - п'ять з гаком тисяч років тому. До початку нашого літочислення індійці вже були чудовими математиками. Де в чому вони обігнали навіть древніх греків. Однак Індія була відірвана від інших країн, - на шляху лежали тисячі кілометрів відстані і високі гори. Індійські вчені зробили одне з найважливіших в математиці відкриттів. Вони винайшли позиційну систему числення - спосіб запису і читання чисел. Щоб назвати велике число, індійцям доводилося після кожної цифри вимовляти назву розряду. Це було громіздко, незручно, і індійці стали чинити інакше. Наприклад, число 278 396 читали так: два, сім, вісім, три, дев'ять, шість - скільки цифр - стільки слів. А якщо в числі не було якогось розряду, як, наприклад, в числах 206 або 7013, то замість назви цифри говорили слово «порожньо». Щоб не виходило плутанини, при записі на місці «порожнього» розряду ставили крапку. Пізніше замість точки стали малювати гурток, який на мові хінді називався «сунья», що значить «порожнє місце». Арабські математики перевели це слово на свою мову. Замість «сунья» вони стали говорити «Сифре», а це вже знайоме нам слово. Слово «цифра» у спадок від арабів дісталося і нам. Генеалогія сучасних цифр. Стародавні індійці з їх високою інтелектуальністю і схильністю до абстрактного мислення, природно, повинні були зайняти провідне положення в математиці. Європа запозичила початки арифметики і алгебри у арабів (чим і пояснюється назва - арабські цифри), а араби, в свою чергу, запозичили їх у Індії. Вражаючі успіхи, досягнуті індійцями в математиці, зараз добре відомі, і визнано, що основи сучасної арифметики та алгебри були закладені ще в стародавній Індії. Примітивний метод використання абак і застосування римських і подібних їм цифр довгий час затримував прогрес, поки, нарешті, десять індійських цифр, включаючи знак нуль, що не звільнили людський розум від цих обмежень і не показали в новому світлі значення чисел. Ці цифрові позначення були єдиними у своєму роді і повністю відрізнялися від усіх інших позначень, які застосовувалися в інших країнах. Зараз вони отримали досить широке поширення, і ми приймаємо їх як належне, проте свого часу вони створили умови для революційного прогресу. Знадобилося багато століть, щоб ці цифрові позначення прийшли з Індії через Багдад в західний світ. Сто п'ятдесят років тому, за часів Наполеона, Лаплас писав: «Індія дала нам дотепний спосіб висловлювання всіх чисел за допомогою десяти знаків, причому, крім величини кожного знака, має значення і його розташування. Ця глибока і важлива думка здається нам настільки простий, що ми не помічаємо її справжніх достоїнств, але ж сама її простота і велика легкість, яку вона надала всім обчисленням, роблять нашу арифметику одним з найбільш корисних винаходів. Ми оцінимо всю велич цього досягнення, коли згадаємо, що повз нього пройшов навіть геній Архімеда і Апполонія, двох найбільших людей давнини. »(L. Hogben. Mathematics for the Million. London. 1942). Виникнення геометрії, арифметики та алгебри в Індії сходить до далеких часів. Насамперед, існувала, ймовірно, якогось роду геометрична алгебра, що застосовувалася при накресленні фігур для ведичних вівтарів. У найдавніших книгах згадується про геометричному методі перетворення квадрата в прямокутник за заданою стороні: ax = c. Геометричні фігури досі широко використовуються в індуських обрядах. Перші добре збережені індійські тексти в галузі точних наук - це "Сіддханта", частина яких, "Сурья", дійшла до нас, ймовірно, в досить точно відповідає оригіналу (приблизно між 300 і 400 роками н. Е..) Формі. У цих книгах міститься в основному астрономія, там виявлені епіцикли і шістдесятичну дробу. Такі факти дозволяють припустити наявність впливу грецької астрономії, що відноситься, бути може, до епохи "Алмагеста". Можливо, що вони вказують на безпосередній контакт з вавілонської астрономією. Але, крім цього, "Сіддханта" містять численні типово індійські особливості. "Сурья Сіддім-ханта" містить таблицю значень синуса (Джия), а не хорд. Результати, зазначені в "Сіддханта", систематично роз'яснювалися і розвивалися в індійських математичних школах, укорінених переважно в Уджджайне (Центральна Індія) і в Майсора (Південна Індія). Відомі імена і книги окремих індійських математиків, починаючи з п'ятого сторіччя н. е..; деякі книги доступні в англійських перекладах. Найбільш відомими математиками Індії були Аріабхата (прозваний "першим", близько 500 р.) і Брахмагупта (близько 625 р.). Наскільки вони були знайомі з результатами греків, вавілонян і китайців, можна тільки припускати, але, в усякому разі, вони виявляють значну оригінальність. Для їх робіт характерні арифметико-алгебраїчні розділи. У їх схильності до невизначеним рівнянням виявляється деяке споріднення з Діофантом. Сучасником Брахмагупти був Бхаськара I, автор коментаря до трактату Аріабхати і астрономічного твору "Маха-Бхаскару", що містить математичні розділи {невизначені лінійні рівняння, елементи тригонометрії та ін.) За цими вченими в найближчі сторіччя пішли інші, які працювали в тих же областях; в працях останніх представлено астрономічне, частково арифметико-алгебраїчне напрямок, вони займалися також вимірами і тригонометрією. Аріабхата I мав для ? значення 3,1416. Улюбленим предметом було знаходження раціональних трикутників і чотирикутників. Особливо успішно над цим працював Магавіра з Майсорской школи (близько 850 р.). Відомі також трактати Шрідхара (IX - X ст.), Аріабхати II (около950г.), Шріпаті (XI ст.) Та ін Близько 1150г. в Уджджайне, де працював Брахмагупта, жив і працював інший видатний математик, Бхаськара П. Перше спільне рішення невизначеного рівняння першого ступеня ах + bу = с (а, b, с - цілі числа) зустрічається у Брахмагупти. Тому, строго кажучи, немає підстав називати невизначені лінійні рівняння діофантових. Діофант допускав ще й дробові рішення, індійські математики цікавилися тільки цілочисельними. Вони пішли далі Діофанта і в тому відношенні, що допускали негативні коріння рівнянь, хоча це в свою чергу, повинно бути, відповідає більш древній практиці, що склалася під впливом вавилонської астрономії. Наприклад, для рівняння х2 - 45х = 250 Бхаськара II знаходив рішення х = 50 і х = -5, але відносно прийнятності негативного кореня він висловлював відомий скептицизм. Його "Лілаваті" протягом століть залишалася на Сході зразковою книгою з арифметики і мистецтву вимірювань; імператор Акбар переклав її на перську мову (1587р), в 1816 р. вона була видана в Калькутті і після цього багаторазово перевидавалася як підручник математики для релігійних шкіл. У стародавній Індії було знайдено багато найцінніших математичних результатів; наприклад, нещодавно стало відомо, що ряди Грегорі-Лейбніца для були знайдені вже при Нілаканта (бл. 1500). Пальма першості належала Індії в області арифметики і алгебри. Винахідник чи винахідники десятковоїсистеми і знака нуль невідомі. Перше відоме нам вживання знака нуль ми знаходимо в одній зі священних книг, що датується приблизно 200 роком до н.е. Вважається імовірним, що десяткова система числення була винайдена на початку християнської ери. Нуль, називається «сунья», або - ніщо, зображувався спочатку у вигляді точки, а пізніше у вигляді маленького гуртка. Він вважався таким же числом, як і всі інші.
Професор Холстед наступним чином підкреслював найважливіше значення цього винаходу: «Значення введення знака нуль не можна переоцінити. Ця здатність дати пустому ніщо не тільки місце, ім'я, образ, символ, але також і практичне значення типова для народу Індії, країни, з якої все це прийшло. Це все одно, що створити з нірвани динамомашини. Жодне математичне винахід не мало такого значення для загального прогресу розуму і могутності людства »

Наукові досягнення індійської математики широкі і різноманітні. Уже в стародавні часи вчені Індії на своєму, багато в чому оригінальному шляху розвитку досягли високого рівня математичних знань. У I тисячолітті н. е. індійські вчені підняли античну математику на нову, більш високу ступінь. Вони винайшли звичну нам десяткову позиційну систему запису чисел, запропонували символи для 10 цифр (які, з деякими змінами, використовуються повсюдно в наші дні), заклали основи десяткової арифметики, комбінаторики, різноманітних чисельних методів, в тому числі тригонометричних розрахунків.

Найдавніший період

Розвиток індійської математики почалося, ймовірно, досить давно, але документальні відомості про початковий її періоді практично відсутні. Серед найбільш древніх зі збережених індійських текстів, що містять математичні відомості, виділяється серія релігійно-філософських книг Шульба-сутри (додаток до Вед). Ці сутри описують побудову жертовних вівтарів. Найстаріші редакції цих книг відносяться до VI століття до н. е., пізніше (приблизно до III століття до н. е.) вони постійно доповнювалися. Уже в цих древніх манускриптах містяться багаті математичні відомості, за своїм рівнем не поступаються вавилонським.

Дії з дробами

Витяг коренів ( «карані» на санскриті)

Раціональні наближення для коренів

Рішення невизначених рівнянь

Підсумовування арифметичній і геометричній прогресій

теорема Піфагора

Точні і наближені методи для знаходження площі трикутника, паралелограма і трапеції, обсягу циліндра, призми, усіченої призми.

Класична задача комбінаторики: «скільки є способів витягти m елементів з N можливих» згадується в сутрах, починаючи приблизно з IV століття до н. е.  Індійські математики, мабуть, першими відкрили біноміальні коефіцієнти і їх зв'язок з біном Ньютона . У II столітті до н. е. індійці знали, що сума всіх біноміальних коефіцієнтів ступеня n дорівнює .

Нумерація і рахунок

Від цих індійських значків відбулися сучасні цифри (накреслення I століття н. Е.)

Індійська нумерація (спосіб запису чисел) спочатку була вишуканою. У санскриті були кошти  для іменування чисел до . Для цифр спочатку використовувалася сиро-фінікійська система, а з VI століття до н. е. - написання «брахми», з окремими знаками для цифр 1-9. Кілька видозмінивши, ці значки стали сучасними цифрами, які ми називаємо арабськими, а самі араби - індійськими.

Близько 500 р. Н.е. е. невідомі нам індійські вчені винайшли десяткову позиційну систему запису чисел. У новій системі виконання арифметичних дій виявилося незмірно простіше, ніж в старих, з незграбними літерними кодами, як у греків, або шестидесятерічних, як у вавилонян.

У VII столітті відомості про цю чудову винахід дійшли до християнського єпископа Сирії Півночі Себохта, який писав .

Я не стану торкатися науки індійців ... їх системи числення, яка перевершує всі описи. Я хочу лише сказати, що рахунок проводиться за допомогою дев'яти знаків.

Записана древнекхмерскімі цифрами дата «605 рік ери Шака» (683 рік): найдавніше зображення нуля (Самбоур, Камбоджа)

Дуже скоро треба було введення нового числа - нуля. Вчені розходяться в думках, звідки в Індію прийшла ця ідея - від греків, з Китаю або індійці винайшли цей важливий символ самостійно. Перший код нуля виявлений в запису від 876 м н. е., він має вигляд звичного нам кружечка.

Дробу в Індії записувалися вертикально, як робимо і ми, тільки замість риси дробу їх укладали в рамку (так само, як в Китаї і у пізніх греків). Дії з дробами нічим не відрізнялися від сучасних.

Індійці використовували рахункові дошки, пристосовані до позиційної записи. Вони розробили повні алгоритми всіх арифметичних операцій, включаючи вилучення квадратних і кубічних коренів. Сам наш термін «корінь» з'явився через те, що індійське слово «мула» мало два значення: підстава і корінь (рослини); арабські перекладачі помилково вибрали друге значення, і в такому вигляді воно потрапило в латинські переклади. Можливо, аналогічна історія сталася зі словом «синус». Для контролю обчислень застосовувалося порівняння по модулю 9.

Математики стародавньої та середньовічної Індії

Перші дійшли до нас «сіддханти» (наукові твори) відносяться вже до IV-V століть н. е., і в них помітно сильне давньогрецьке вплив. Окремі математичні терміни - просто кальки з грецької. Передбачається, що частина цих праць була написані греками-емігрантами, що бігли з Олександрії і Афін від антіязическіе погромів в Римській імперії. Наприклад, відомий олександрійський астроном Паулос написав «Пуліса-сіддханта».

  Брахмагупти

Аріабхата

До V-VI століть відносяться праці Аріабхати, видатного індійського математика і астронома.

У його праці «Аріабхати» зустрічається безліч рішень обчислювальних задач. У VII столітті працював інший відомий індійський математик і астроном, Брахмагупта. Починаючи з Брахмагупти, індійські математики вільно поводяться з негативними числами, трактуючи їх як борг. Імовірно, ця ідея прийшла з Китаю. При вирішенні рівнянь, проте, негативні результати незмінно відкидали. Брахмагупта, як і Аріабхата, систематично застосовував безперервні дроби, теорія яких була відсутня у греків.

Особливо далеко індійці просунулися в алгебрі і в чисельних методах [5]. Їх алгебраїчна символіка багатшими, ніж у Діофанта, хоча кілька громіздка (засмічена словами). Геометрія з якихось причин викликала у індійців слабкий інтерес - доведення теорем складалися з креслення і слова «дивись». Формули для площ і обсягів, а також тригонометрію вони, швидше за все, успадкували від греків.

Ряд відкриттів було зроблено в області рішення невизначених рівнянь в натуральних числах. Вершиною стало рішення в загальному вигляді рівняння .

У 1769 р індійський метод перевідкрив Лагранж.

У VII-VIII століттях індійські математичні праці переводяться на арабський. Десяткова система проникає в країни ісламу, а через них, з часом - і в Європу.

В XI столітті відбувається захоплення і розорення мусульманами Північної Індії (Махмуд Газневі). Культурні центри переносяться в Південну Індію. Наукове життя на тривалий період згасає. Із значних фігур цього періоду можна виділити Бхаскару, автора астрономо-математичного трактату «Сиддханта-шіромані». Бхаськара дав рішення рівняння Пелля і ряду інших діофантових рівнянь, просунув теорію неперервних дробів та сферичну тригонометрію.

XVI століття був відзначений великими відкриттями в теорії розкладання в ряди, перевідкриття в Європі 100-200 років тому. У тому числі - ряди для синуса, косинуса і арксинуса. Приводом до їх відкриття послужило, очевидно, бажання знайти більш точне значення числа