ЦІЛІ ЧИСЛА. РАЦІОНАЛЬНІ ЧИСЛА

У п’ятому класі ви вивчали натуральні числа. Це числа, які використовують для лічби: 1; 2; 3; 4; … . Усі натуральні числа утворюють множину натуральних чисел. Цю множину позначають буквою N. Множина N має нескінченно багато елементів, оскільки натуральних чисел нескінченно багато. Коротко це записують так: N=(1; 2; 3; 4;…). Окрім множини натуральних чисел є й інші числові множини. Натуральні числа, протилежні їм числа і число нуль утворюють множину цілих чисел. Цю множину позначають буквою Z. Множина цілих чисел, як і множина натуральних чисел, теж має нескінченно багато елементів. Коротко це записують так: Z = (… – 3; – 2; – 1; 0; 1; 2; 3; …). Яким би не було натуральне число, воно є елементом множини цілих чисел. Проте не кожне ціле число є елементом множини натуральних чисел. Справді, будь-яке від’ємне число, яке є протилежним до натурального числа, є елементом множини цілих чисел. Але таке число не є натуральним. Співвідношення між цілими і натуральними числами. Чи можна вважати, що додатні цілі числа є натуральними числами? Так. Крім цілих чисел ви знаете ще й дробові числа. Деякі з дробів позначають цілі числа, а деякі – ні. Наприклад, дріб ЦІЛІ ЧИСЛА. РАЦІОНАЛЬНІ ЧИСЛА дорівнює числу -2, яке є цілим. Вважають, що ЦІЛІ ЧИСЛА. РАЦІОНАЛЬНІ ЧИСЛА і -2 – це різні записи одного числа. Про ЦІЛІ ЧИСЛА. РАЦІОНАЛЬНІ ЧИСЛА ще кажуть, що це – число -2, яке записано у вигляді дробу. А от число ЦІЛІ ЧИСЛА. РАЦІОНАЛЬНІ ЧИСЛА навіть після скорочення дробу залишиться дробовим. Зверніть увагу: Не всі числа, записані у вигляді дробу, є дробовими. Цілі числа та дробові числа утворюють множину раціональних чисел. Її позначають буквою Q. Множина раціональних чисел, як і множина цілих чисел, має нескінченно багато елементів. Співвідношення між натуральними, цілими і раціональними числами . Задача 1 Серед чисел 5, ЦІЛІ ЧИСЛА. РАЦІОНАЛЬНІ ЧИСЛА Укажіть: 1) натуральні; 2) цілі; 3) раціональні. Розв’язання. 1. Натуральними є числа ЦІЛІ ЧИСЛА. РАЦІОНАЛЬНІ ЧИСЛА 2. Цілими є числа ЦІЛІ ЧИСЛА. РАЦІОНАЛЬНІ ЧИСЛА 3. Раціональними є числа 5, ЦІЛІ ЧИСЛА. РАЦІОНАЛЬНІ ЧИСЛА Зверніть увагу: – кожне натуральне число є і цілим числом, і раціональним числом; – кожне ціле число є раціональним числом; – не кожне раціональне число є цілим числом; – не кожне раціональне число є натуральним числом. Задача 2. На координатній прямій побудуйте точку, розміщену між точками А (2) і В (-4) і координата якої є: 1) від’ємним цілим числом; 2)додатним раціональним числом. Розв’язання. Побудуємо координатну пряму і позначимо на ній точки А і В. ЦІЛІ ЧИСЛА. РАЦІОНАЛЬНІ ЧИСЛА 1. Узагалі між точками А (2) і В (-4) знаходиться п’ять точок із цілими координатами;-3,-2,-1, 0,1. Шукана точка М, координата якої є від’ємним цілим числом, розміщена між точками В і О. Це, наприклад, точка М (-3). 2. Узагалі між точками А (2) і В (-4) знаходиться безліч точок із раціональними координатами. Шукана точка Р, координата якої є додатним раціональним числом, розміщена між точками О і А. Це, наприклад, точка Р (1,5). Зверніть увагу: Між двома числами на координатній прямій знаходиться нескінченна кількість раціональних чисел. Дізнайтеся більше Поняття “множина” – одне з первинних понять математики. Множину можна утворювати не лише із чисел, а й з будь-яких інших об’єктів. Наприклад, цукерки в коробці, приладдя в пеналі теж утворюють відповідні множини. Об’єкти, з яких складається множина, називають елементами множини. Для позначення множин зазвичай використовують великі латинські літери А, В, С… . Множину, яка не містить жодного елемента, називають порожньою множною. Для її позначення використовують спеціальний знак: 0. ПРИГАДАЙТЕ ГОЛОВНЕ 1. Які числа відносять до натуральних? 2. Як позначають множину натуральних чисел? 3. Які числа відносять до цілих? 4. Як позначають множину цілих чисел? 5. Які числа утворюють множину раціональних чисел? 6. Як позначають множину раціональних чисел? 7. Яке ціле число не є від’ємним і не є натуральним? 8. Як пов’язані між собою натуральні, цілі та раціональні числа? РОЗВ’ЯЖІТЬ ЗАДАЧІ 1045′. Назвіть чотири: 1) натуральні числа; 3) раціональні числа; 2) цілі числа; 4) дробові числа. 1046′. Чи є правильним твердження: 1) -11 – ціле число; 7) -9,4 – ціле число; 2) 5 – раціональне число; 8) 0 – раціональне число; 3) -11 – натуральне число; 9) -9,4 – раціональне число; 4) 5 – натуральне число; 10) 0 – ціле число; 5) -11 – раціональне число; 11) -9,4 – натуральне число; 6) 5 – ціле число; 12) 0 – натуральне число? 1047′. Чи права Іринка, стверджуючи, що: ЦІЛІ ЧИСЛА. РАЦІОНАЛЬНІ ЧИСЛА – раціональне число; ЦІЛІ ЧИСЛА. РАЦІОНАЛЬНІ ЧИСЛА – ціле число; ЦІЛІ ЧИСЛА. РАЦІОНАЛЬНІ ЧИСЛА – раціональне число; ЦІЛІ ЧИСЛА. РАЦІОНАЛЬНІ ЧИСЛА – натуральне число? 1048°. Які з тверджень є правильними; 1) кожне натуральне число є цілим числом; 2) кожне натуральне число є раціональним числом; 3) кожне ціле число є раціональним числом? 1049°. Серед чисел 9; -8; 0; -4,6; 7,8; -475; 1143; ЦІЛІ ЧИСЛА. РАЦІОНАЛЬНІ ЧИСЛА оберіть: 1) натуральні числа; 4) цілі від’ємні числа; 2) цілі числа; 5) недодатні раціональні числа. 3) додатні числа; 1050°. Серед чисел ЦІЛІ ЧИСЛА. РАЦІОНАЛЬНІ ЧИСЛА -96,3; 0; -25; 283; 4,78; 11; ЦІЛІ ЧИСЛА. РАЦІОНАЛЬНІ ЧИСЛА 56; -85; ЦІЛІ ЧИСЛА. РАЦІОНАЛЬНІ ЧИСЛА 2577 оберіть: 1) цілі числа; 4) дробові числа; 2) цілі додатні числа; 5) раціональні числа; 3) цілі від’ємні числа; 6) дробові від’ємні числа. 1051°. Серед чисел 534; -2,02; 0; ЦІЛІ ЧИСЛА. РАЦІОНАЛЬНІ ЧИСЛА 33,01 оберіть: 1) натуральні числа; 2) цілі числа; 3) раціональні числа. 1052°. Наведіть приклад числа, яке: 1) є цілим, але не є натуральним; 2) є раціональним, але не є цілим і не є додатним. 1053°. Скільки цілих чисел і скільки натуральних чисел розміщується на координатній прямій між числами: 1)-12 і 12; 2)-62 і 62? 1054°. Скільки натуральних чисел і скільки цілих чисел можна позначити на координатній прямій між точками: 1 )А(12) і B(28); 2) С(-3,5) і D(-12,9); 3) М(-3,2) і N(10)? Назвіть ці числа. 1055°. Скільки цілих чисел можна позначити на координатній прямій між точками: 1) А(2) і В(2,5); 2) С(-5) і D(-12,9)? 1056°. Позначте на координатній прямій усі додатні цілі числа, які лежать ліворуч від числа ЦІЛІ ЧИСЛА. РАЦІОНАЛЬНІ ЧИСЛА 1057°. Позначте на координатній прямій усі натуральні числа, які лежать ліворуч від числа 5, і числа, протилежні до них. 1058°. Запишіть усі цілі числа, модуль яких менший від числа: 1)3; 2)4,5; 3)1,25. 1059, Які з чисел ЦІЛІ ЧИСЛА. РАЦІОНАЛЬНІ ЧИСЛА 1) цілими; 2) дробовими; 3) натуральними; 4) раціональними? 1060. Серед чисел, протилежних до чисел 15; -71; 0; – 1,1; 4,05; ЦІЛІ ЧИСЛА. РАЦІОНАЛЬНІ ЧИСЛА оберіть: 1) натуральні числа; 3) цілі недодатні числа; 2) цілі числа; 4) раціональні числа, 1061. Які з чисел-3; 1230; ЦІЛІ ЧИСЛА. РАЦІОНАЛЬНІ ЧИСЛА 1) цілими, але не натуральними; 2) дробовими, але не додатними; 3) раціональними, але не цілими? 1062. Знайдіть цілі числа, модуль яких знаходиться між числами: 1) 12 і 15; 3) -10 і 1; 5) 58,6 і 59,1; 2)-2 і 2; 4) 19 і 22; ЦІЛІ ЧИСЛА. РАЦІОНАЛЬНІ ЧИСЛА 1063. Чи є правильною рівність: 1) |а| = – а, якщо а – раціональне число; 2) |а| = а, якщо а – натуральне число; 3) |x| =-х, якщо х – ціле число; 4) |х| =-х, якщо х – натуральне є число? 1064. Чи є правильною рівність: 1) |а| = а, якщо а – раціональне число; 2) |х| = х, якщо х – ціле число? 1065. Укажіть такі цілі значення а, за яких між числами – а і а на координатній прямій розміщується тільки одне ціле число. 1066*. Чи існує таке значення а, за якого між числами -2а і а на координатній прямій: 1) лежить рівно сто цілих чисел; 2) не лежить жодного числа? Наведіть приклад. 1067*. Для яких натуральних чисел х і у справджується рівність: |x| +|у| =6? 1068*. Для яких цілих чисел х і у справджується рівність: |х| + |у|=8? 1069. Чи може існувати клас, у якому половина учнів вивчає тільки іспанську мову, чверть учнів – тільки німецьку мову, сьома частина учнів – тільки французьку мову, крім того, є ще три учні, які вивчають тільки китайську мову? 1070. Чи може існувати клас, у якому третина учнів грає тільки у футбол, чверть учні в-тільки у баскетбол, восьма части на учнів-тільки у теніс, крім того, є ще п’ять учнів, які не займаються спортом? ЗАДАЧІ НА ПОВТОРЕННЯ 1071. Порівняйте значення числових виразів: 1)400094-20 900 +6 і 401 543-11 267+ 190; 2) 300 005 – 23 000 + 5 і 3 230 005 : 5 + 2. 1072. Порівняйте числа: ЦІЛІ ЧИСЛА. РАЦІОНАЛЬНІ ЧИСЛА 1073. Сашко задумав три числа. Сума цих чисел дорівнює 61,5. Сума першого і другого чисел дорівнює 40,2, а сума першого і третього становить 29,8. Які числа задумав Сашко?

Числа в нашому житті

Числа зустрічаються в нашому житті всюди. Дата народження, вік, адреса … У цій статті зібрані найцікавіші факти про числа, які не залишать вас байдужими. 1. У таких країнах, як Китай, Японія і Корея число «4» вважається нещасливим. Тому поверхи з номерами, які закінчуються на «4» відсутні. 2. Центільон — це найбільше число, яке виглядає як 1 з 600 нулями. Це число було записано ще в 1852 році. 3. Число «13» — у багатьох державах також вважається невдалим. Тому поверх після «12» має позначення «14», «12А» або «М» (тринадцята літера в алфавіті). 4. Араби записують цифри справа наліво, починаючи з молодших розрядів. Тому побачивши знайомі нам арабські цифри в тексті арабських народів, ми прочитаємо їх зліва направо неправильно. 5. Цікаві факти про числа стосуються і сучасних технологій. Так, Google — одна з найпопулярніших пошукових систем. Її придумав Сергій Брін і Ларрі Пейдж. Назва пошукової системи було вибрано неспроста. Так, її творці захотіли показати ту кількість інформації, яку система може обробити. У математиці число, яке складається з одиниці і ста нулів називається «гугол». Цікаво й те, що назва «Google» записано неправильно (не «googol»). Але така ідея назви засновникам сподобалася ще більше. 6. 666 — це сума всіх чисел на рулетці казино. 7. Число «13» в Греції вважається нещасливим днем тільки тоді, коли випадає у вівторок. В Італії побоюються п’ятниці 17-го. А ось статисти Нідерландів підрахували, що саме 13-го числа трапляється менше аварій і нещасних випадків, оскільки люди більш обережні і зібрані. 8. Термін «цифра» в перекладі з арабської означає «нуль». Тільки з часом дане слово почали використовувати для позначення будь-якого чисельного символу. 9. Число «7» вважається самим щасливим числом. 10. У сороконіжок зовсім не 40 ніжок, їх може бути від 30 до 4...

цікаві факти про від'ємні числа

Від’ємні числа виникли в Китаї в І ст. до н.е.. в зв’язку з потребою розв’язувати рівняння. В ті давні часи знаків " +" і "- "не було, тому ці числа зображали червоним і чорним кольором.("чен"або "фу") Додатними числами позначали майно, свої гроші, прибуток. Додатнім числам раділи і позначали їх червоним кольором (китайці їх називали «чен», що означає червоний). Від’ємні числа не любили, їх називали «фу», що перекладається, як чорний. Ними позначали борг, збиток, недостачу і зображували їх чорним кольором. Такий спосіб позначення чисел Китайці використовували до середини XIII ст., поки Лі Є не запровадив зручніше позначення від’ємних чисел — цифри, що зображали від’ємні числа, перекреслювали рискою навскіс справа наліво. З Китаю довго до Європи не надходили відомості і вчення про від'ємні числа, бо на той час Китай бав замкненою у собі країною. Тому ці знання не розповсюджувались довго за межі Китаю. У Давній Греції дії з від’ємними числами увів Діофант у ІІІ ст. н.е. Їх широко використовували індійські математики у VI-VII ст. н.е., які розуміли додатні числа як майно, а від’ємні – як борг. Індійський математик Бхаскара (ХІІ ст.) склав правила дій для від’ємних і додатних чисел: «Сума майна є майно». «Сума двох боргів є борг». «Сума майна і боргу дорівнює їх різниці». «Сума майна і такого самого боргу дорівнює нулю». Цікаві аналогії правила знаків під час множення цілих чисел, які використовували арабські математики. Друг мого друга — мій друг, Друг мого ворога — мій ворог, Ворог мого друга — мій ворог, . Ворог мого ворога - мій друг. Тому довгий час від’ємних чисел не визнавали, вважали їх несправжніми, абсурдними, фіктивними. Бхаскара так і писав: «Люди не схвалюють від’ємних чисел». Важко входили від’ємні числа в математику.. в Європі вперше про них згадує італійський математик Леонардо Пізанський (Фібоначчі, ХІІ – ХІІІ ст.). Німецький математик Михайло Штіфель (ХVІ ст.) називає від’ємні числа «меншими ніж ніщо». Він пише: «Нуль міститься між істинними і абсурдними числами». Протягом 18 століть математики різних країн незалежно один від одного приходили до поняття від’ємного числа, але навіть у XVI-XVII ст. більшість європейських вчених ще не визнавали від’ємних чисел. Сучасне розуміння від’ємних чисел пов’язане з рухом ліворуч від нуля по числовій осі, прийшло з працями французького математика і філософа Р.Декарта (1596-1650). І тільки з початку ХІХ ст. від’ємні числа стали у математиці такими ж звичайними як і додатні.

У світі є багато речей, але немає нічого важкого, як чотири дії арифметики!

В Індії математика зародилася приблизно тоді ж, коли і в Єгипті, - п'ять з гаком тисяч років тому. До початку нашого літочислення індійці вже були чудовими математиками. Де в чому вони обігнали навіть древніх греків. Однак Індія була відірвана від інших країн, - на шляху лежали тисячі кілометрів відстані і високі гори. Індійські вчені зробили одне з найважливіших в математиці відкриттів. Вони винайшли позиційну систему числення - спосіб запису і читання чисел. Щоб назвати велике число, індійцям доводилося після кожної цифри вимовляти назву розряду. Це було громіздко, незручно, і індійці стали чинити інакше. Наприклад, число 278 396 читали так: два, сім, вісім, три, дев'ять, шість - скільки цифр - стільки слів. А якщо в числі не було якогось розряду, як, наприклад, в числах 206 або 7013, то замість назви цифри говорили слово «порожньо». Щоб не виходило плутанини, при записі на місці «порожнього» розряду ставили крапку. Пізніше замість точки стали малювати гурток, який на мові хінді називався «сунья», що значить «порожнє місце». Арабські математики перевели це слово на свою мову. Замість «сунья» вони стали говорити «Сифре», а це вже знайоме нам слово. Слово «цифра» у спадок від арабів дісталося і нам. Генеалогія сучасних цифр. Стародавні індійці з їх високою інтелектуальністю і схильністю до абстрактного мислення, природно, повинні були зайняти провідне положення в математиці. Європа запозичила початки арифметики і алгебри у арабів (чим і пояснюється назва - арабські цифри), а араби, в свою чергу, запозичили їх у Індії. Вражаючі успіхи, досягнуті індійцями в математиці, зараз добре відомі, і визнано, що основи сучасної арифметики та алгебри були закладені ще в стародавній Індії. Примітивний метод використання абак і застосування римських і подібних їм цифр довгий час затримував прогрес, поки, нарешті, десять індійських цифр, включаючи знак нуль, що не звільнили людський розум від цих обмежень і не показали в новому світлі значення чисел. Ці цифрові позначення були єдиними у своєму роді і повністю відрізнялися від усіх інших позначень, які застосовувалися в інших країнах. Зараз вони отримали досить широке поширення, і ми приймаємо їх як належне, проте свого часу вони створили умови для революційного прогресу. Знадобилося багато століть, щоб ці цифрові позначення прийшли з Індії через Багдад в західний світ. Сто п'ятдесят років тому, за часів Наполеона, Лаплас писав: «Індія дала нам дотепний спосіб висловлювання всіх чисел за допомогою десяти знаків, причому, крім величини кожного знака, має значення і його розташування. Ця глибока і важлива думка здається нам настільки простий, що ми не помічаємо її справжніх достоїнств, але ж сама її простота і велика легкість, яку вона надала всім обчисленням, роблять нашу арифметику одним з найбільш корисних винаходів. Ми оцінимо всю велич цього досягнення, коли згадаємо, що повз нього пройшов навіть геній Архімеда і Апполонія, двох найбільших людей давнини. »(L. Hogben. Mathematics for the Million. London. 1942). Виникнення геометрії, арифметики та алгебри в Індії сходить до далеких часів. Насамперед, існувала, ймовірно, якогось роду геометрична алгебра, що застосовувалася при накресленні фігур для ведичних вівтарів. У найдавніших книгах згадується про геометричному методі перетворення квадрата в прямокутник за заданою стороні: ax = c. Геометричні фігури досі широко використовуються в індуських обрядах. Перші добре збережені індійські тексти в галузі точних наук - це "Сіддханта", частина яких, "Сурья", дійшла до нас, ймовірно, в досить точно відповідає оригіналу (приблизно між 300 і 400 роками н. Е..) Формі. У цих книгах міститься в основному астрономія, там виявлені епіцикли і шістдесятичну дробу. Такі факти дозволяють припустити наявність впливу грецької астрономії, що відноситься, бути може, до епохи "Алмагеста". Можливо, що вони вказують на безпосередній контакт з вавілонської астрономією. Але, крім цього, "Сіддханта" містять численні типово індійські особливості. "Сурья Сіддім-ханта" містить таблицю значень синуса (Джия), а не хорд. Результати, зазначені в "Сіддханта", систематично роз'яснювалися і розвивалися в індійських математичних школах, укорінених переважно в Уджджайне (Центральна Індія) і в Майсора (Південна Індія). Відомі імена і книги окремих індійських математиків, починаючи з п'ятого сторіччя н. е..; деякі книги доступні в англійських перекладах. Найбільш відомими математиками Індії були Аріабхата (прозваний "першим", близько 500 р.) і Брахмагупта (близько 625 р.). Наскільки вони були знайомі з результатами греків, вавілонян і китайців, можна тільки припускати, але, в усякому разі, вони виявляють значну оригінальність. Для їх робіт характерні арифметико-алгебраїчні розділи. У їх схильності до невизначеним рівнянням виявляється деяке споріднення з Діофантом. Сучасником Брахмагупти був Бхаськара I, автор коментаря до трактату Аріабхати і астрономічного твору "Маха-Бхаскару", що містить математичні розділи {невизначені лінійні рівняння, елементи тригонометрії та ін.) За цими вченими в найближчі сторіччя пішли інші, які працювали в тих же областях; в працях останніх представлено астрономічне, частково арифметико-алгебраїчне напрямок, вони займалися також вимірами і тригонометрією. Аріабхата I мав для ? значення 3,1416. Улюбленим предметом було знаходження раціональних трикутників і чотирикутників. Особливо успішно над цим працював Магавіра з Майсорской школи (близько 850 р.). Відомі також трактати Шрідхара (IX - X ст.), Аріабхати II (около950г.), Шріпаті (XI ст.) Та ін Близько 1150г. в Уджджайне, де працював Брахмагупта, жив і працював інший видатний математик, Бхаськара П. Перше спільне рішення невизначеного рівняння першого ступеня ах + bу = с (а, b, с - цілі числа) зустрічається у Брахмагупти. Тому, строго кажучи, немає підстав називати невизначені лінійні рівняння діофантових. Діофант допускав ще й дробові рішення, індійські математики цікавилися тільки цілочисельними. Вони пішли далі Діофанта і в тому відношенні, що допускали негативні коріння рівнянь, хоча це в свою чергу, повинно бути, відповідає більш древній практиці, що склалася під впливом вавилонської астрономії. Наприклад, для рівняння х2 - 45х = 250 Бхаськара II знаходив рішення х = 50 і х = -5, але відносно прийнятності негативного кореня він висловлював відомий скептицизм. Його "Лілаваті" протягом століть залишалася на Сході зразковою книгою з арифметики і мистецтву вимірювань; імператор Акбар переклав її на перську мову (1587р), в 1816 р. вона була видана в Калькутті і після цього багаторазово перевидавалася як підручник математики для релігійних шкіл. У стародавній Індії було знайдено багато найцінніших математичних результатів; наприклад, нещодавно стало відомо, що ряди Грегорі-Лейбніца для були знайдені вже при Нілаканта (бл. 1500). Пальма першості належала Індії в області арифметики і алгебри. Винахідник чи винахідники десятковоїсистеми і знака нуль невідомі. Перше відоме нам вживання знака нуль ми знаходимо в одній зі священних книг, що датується приблизно 200 роком до н.е. Вважається імовірним, що десяткова система числення була винайдена на початку християнської ери. Нуль, називається «сунья», або - ніщо, зображувався спочатку у вигляді точки, а пізніше у вигляді маленького гуртка. Він вважався таким же числом, як і всі інші.
Професор Холстед наступним чином підкреслював найважливіше значення цього винаходу: «Значення введення знака нуль не можна переоцінити. Ця здатність дати пустому ніщо не тільки місце, ім'я, образ, символ, але також і практичне значення типова для народу Індії, країни, з якої все це прийшло. Це все одно, що створити з нірвани динамомашини. Жодне математичне винахід не мало такого значення для загального прогресу розуму і могутності людства »

Наукові досягнення індійської математики широкі і різноманітні. Уже в стародавні часи вчені Індії на своєму, багато в чому оригінальному шляху розвитку досягли високого рівня математичних знань. У I тисячолітті н. е. індійські вчені підняли античну математику на нову, більш високу ступінь. Вони винайшли звичну нам десяткову позиційну систему запису чисел, запропонували символи для 10 цифр (які, з деякими змінами, використовуються повсюдно в наші дні), заклали основи десяткової арифметики, комбінаторики, різноманітних чисельних методів, в тому числі тригонометричних розрахунків.

Найдавніший період

Розвиток індійської математики почалося, ймовірно, досить давно, але документальні відомості про початковий її періоді практично відсутні. Серед найбільш древніх зі збережених індійських текстів, що містять математичні відомості, виділяється серія релігійно-філософських книг Шульба-сутри (додаток до Вед). Ці сутри описують побудову жертовних вівтарів. Найстаріші редакції цих книг відносяться до VI століття до н. е., пізніше (приблизно до III століття до н. е.) вони постійно доповнювалися. Уже в цих древніх манускриптах містяться багаті математичні відомості, за своїм рівнем не поступаються вавилонським.

Дії з дробами

Витяг коренів ( «карані» на санскриті)

Раціональні наближення для коренів

Рішення невизначених рівнянь

Підсумовування арифметичній і геометричній прогресій

теорема Піфагора

Точні і наближені методи для знаходження площі трикутника, паралелограма і трапеції, обсягу циліндра, призми, усіченої призми.

Класична задача комбінаторики: «скільки є способів витягти m елементів з N можливих» згадується в сутрах, починаючи приблизно з IV століття до н. е.  Індійські математики, мабуть, першими відкрили біноміальні коефіцієнти і їх зв'язок з біном Ньютона . У II столітті до н. е. індійці знали, що сума всіх біноміальних коефіцієнтів ступеня n дорівнює .

Нумерація і рахунок

Від цих індійських значків відбулися сучасні цифри (накреслення I століття н. Е.)

Індійська нумерація (спосіб запису чисел) спочатку була вишуканою. У санскриті були кошти  для іменування чисел до . Для цифр спочатку використовувалася сиро-фінікійська система, а з VI століття до н. е. - написання «брахми», з окремими знаками для цифр 1-9. Кілька видозмінивши, ці значки стали сучасними цифрами, які ми називаємо арабськими, а самі араби - індійськими.

Близько 500 р. Н.е. е. невідомі нам індійські вчені винайшли десяткову позиційну систему запису чисел. У новій системі виконання арифметичних дій виявилося незмірно простіше, ніж в старих, з незграбними літерними кодами, як у греків, або шестидесятерічних, як у вавилонян.

У VII столітті відомості про цю чудову винахід дійшли до християнського єпископа Сирії Півночі Себохта, який писав .

Я не стану торкатися науки індійців ... їх системи числення, яка перевершує всі описи. Я хочу лише сказати, що рахунок проводиться за допомогою дев'яти знаків.

Записана древнекхмерскімі цифрами дата «605 рік ери Шака» (683 рік): найдавніше зображення нуля (Самбоур, Камбоджа)

Дуже скоро треба було введення нового числа - нуля. Вчені розходяться в думках, звідки в Індію прийшла ця ідея - від греків, з Китаю або індійці винайшли цей важливий символ самостійно. Перший код нуля виявлений в запису від 876 м н. е., він має вигляд звичного нам кружечка.

Дробу в Індії записувалися вертикально, як робимо і ми, тільки замість риси дробу їх укладали в рамку (так само, як в Китаї і у пізніх греків). Дії з дробами нічим не відрізнялися від сучасних.

Індійці використовували рахункові дошки, пристосовані до позиційної записи. Вони розробили повні алгоритми всіх арифметичних операцій, включаючи вилучення квадратних і кубічних коренів. Сам наш термін «корінь» з'явився через те, що індійське слово «мула» мало два значення: підстава і корінь (рослини); арабські перекладачі помилково вибрали друге значення, і в такому вигляді воно потрапило в латинські переклади. Можливо, аналогічна історія сталася зі словом «синус». Для контролю обчислень застосовувалося порівняння по модулю 9.

Математики стародавньої та середньовічної Індії

Перші дійшли до нас «сіддханти» (наукові твори) відносяться вже до IV-V століть н. е., і в них помітно сильне давньогрецьке вплив. Окремі математичні терміни - просто кальки з грецької. Передбачається, що частина цих праць була написані греками-емігрантами, що бігли з Олександрії і Афін від антіязическіе погромів в Римській імперії. Наприклад, відомий олександрійський астроном Паулос написав «Пуліса-сіддханта».

  Брахмагупти

Аріабхата

До V-VI століть відносяться праці Аріабхати, видатного індійського математика і астронома.

У його праці «Аріабхати» зустрічається безліч рішень обчислювальних задач. У VII столітті працював інший відомий індійський математик і астроном, Брахмагупта. Починаючи з Брахмагупти, індійські математики вільно поводяться з негативними числами, трактуючи їх як борг. Імовірно, ця ідея прийшла з Китаю. При вирішенні рівнянь, проте, негативні результати незмінно відкидали. Брахмагупта, як і Аріабхата, систематично застосовував безперервні дроби, теорія яких була відсутня у греків.

Особливо далеко індійці просунулися в алгебрі і в чисельних методах [5]. Їх алгебраїчна символіка багатшими, ніж у Діофанта, хоча кілька громіздка (засмічена словами). Геометрія з якихось причин викликала у індійців слабкий інтерес - доведення теорем складалися з креслення і слова «дивись». Формули для площ і обсягів, а також тригонометрію вони, швидше за все, успадкували від греків.

Ряд відкриттів було зроблено в області рішення невизначених рівнянь в натуральних числах. Вершиною стало рішення в загальному вигляді рівняння .

У 1769 р індійський метод перевідкрив Лагранж.

У VII-VIII століттях індійські математичні праці переводяться на арабський. Десяткова система проникає в країни ісламу, а через них, з часом - і в Європу.

В XI столітті відбувається захоплення і розорення мусульманами Північної Індії (Махмуд Газневі). Культурні центри переносяться в Південну Індію. Наукове життя на тривалий період згасає. Із значних фігур цього періоду можна виділити Бхаскару, автора астрономо-математичного трактату «Сиддханта-шіромані». Бхаськара дав рішення рівняння Пелля і ряду інших діофантових рівнянь, просунув теорію неперервних дробів та сферичну тригонометрію.

XVI століття був відзначений великими відкриттями в теорії розкладання в ряди, перевідкриття в Європі 100-200 років тому. У тому числі - ряди для синуса, косинуса і арксинуса. Приводом до їх відкриття послужило, очевидно, бажання знайти більш точне значення числа